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设二次函数满足下列条件:

①当x∈R时,f(x)的最小值为0,且f(x-1)=f(-x-1)成立;

②当x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立.

(1)求f(1)的值;

(2)求f(x)的解析式;

(3)求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当x∈[1,m]时,就有成立.

答案:
解析:

  解:(1)在②中令x=1,有1≤f(1)≤1,故f(1)=1  3分

  (2)由①知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上

  故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a=

  ∴f(x)=(x+1)2  8分

  (3)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

  f(x+t)≤x(x+t+1)2≤xx2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0.

  g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

  

  ∴m≤1-t+2≤1-(-4)+2=9

  t=-4时,对任意的x∈[1,9]

  恒有g(x)≤0,∴m的最大值为9  16分


练习册系列答案
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设二次函数满足下列条件:

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(1)求的值;    

(2)求的解析式;

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②当∈(0,5)时,≤2+1恒成立。

(1)求的值;    

   (2)求的解析式;

(3)求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当时,就有成立。

 

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②当时,恒成立.

(1)求的值;

(2)求的解析式;

(3)求最大的实数,使得存在,只要当时,就有成立

 

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