Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

．
（1）证明：f（x）在R上单调增；
（2）判断f（x）与f（-x）的关系，若对任意的t∈[1，3]，不等式f（t²-2kt）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）=1-

2

2x+1

，利用函数单调性的定义即可证明；
（2）由定义可判断f（x）为奇函数，利用函数的奇偶性及单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式恒成立问题，
进而转化为函数最值问题即可解决．

解答：解：（1）f（x）=1-

2

2x+1

，
在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）
=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁＜x₂，所以0＜2x1＜2x2，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上单调递增．
（2）f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
即f（x）=-f（-x），
不等式f（t²-2kt）+f（2t²-k）＞0可化为f（2t²-k）＞-f（t²-2kt），即f（2t²-k）＞f（2kt-t²），
又f（x）在R上单调递增，所以2t²-k＞2kt-t²，即3t²-2kt-k＞0，
则问题转化为不等式3t²-2kt-k＞0在t∈[1，3]上恒成立，也即k＜

3t2

2t+1

在t∈[1，3]上恒成立，
令g（t）=

3t2

2t+1

t∈[1，3]，则g′（t）=

6t2+6t

(2t+1)2

＞0，
所以g（t）在[1，3]上单调递增，g（t）_min=g（1）=1，
所以k＜1，即k的取值范围是（-∞，1）．

点评：本题考查函数的单调性、奇偶性的判断及不等式恒成立问题，对不等式恒成立问题往往转化为函数最值问题加以解决．