Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+a满足条件f(x+

7

4

)=f(

7

4

-x)，且方程f（x）=7x+a有两个相等的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（0＜m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[

3

n

，

3

m

]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数f（x）=ax²+bx+a满足条件f(x+

7

4

)=f(

7

4

-x)，可知函数的对称轴，利用方程f（x）=7x+a有两个相等的实根，可得其判别式为0，从而可求f（x）的解析式；
（2）构建函数 g(x)=

3

x

（x＞0），则当f（x）=g（x）时，即-2x2+7x-2=

x

3

，利用f(x)max=

4ac-b2

4a

=

33

8

，此时，x=

7

4

∈[1，3]，可知

3

f(x)max

=

8

11

＜1，故取 m=

8

11

，当x=3时，f（x）_min=1，即

3

f(x)min

=3≥3．故取n=3，从而问题得解．

解答：解：（1）因为 二次函数f（x）=ax²+bx+a满足条件f(x+

7

4

)=f(

7

4

-x)，
所以f（x）=ax²+bx+a=ax2-

7

2

ax+a，
∴b=-

7

2

a
又因为方程f（x）=7x+a有连个相等的实数根，即ax2-(

7

2

a+7)x=o有两个相等的实数根．
所以△=(

7

2

a+7)2-4a•0=0，
解得a=-2，
∴b=7
故f（x）=-2x²+7x-2．…（ （6分）  ）
（2）存在．如图所示：
设 g(x)=

3

x

（x＞0），则当f（x）=g（x）时，即-2x2+7x-2=

x

3

化简得：2x³-7x²+2x+3=0，故（x-3）（2x²-x-1）=0，
解得：x₁=1，x₂=3，x₃=-

1

2

（舍去）
因为f(x)max=

4ac-b2

4a

=

33

8

，此时，x=

7

4

∈[1，3]，
所以

3

f(x)max

=

8

11

＜1，故取 m=

8

11

，
当x=3时，f（x）_min=1，即

3

f(x)min

=3≥3．故取n=3
综上，取m=

8

11

，n=3时，f（x）=-2x²+7x-2在[

8

11

，3]上的值域是[1，

33

8

]．…（14分）

点评：本题重点考查函数的解析式，考查函数的定义域与值域，考查存在性问题，考查数形结合的思想，综合性强．