Question

 

（Ⅰ）设函数，求的最小值；

（Ⅱ）设正数满足，证明

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：对函数求导数：

　

　　　

于是，

当时，，在区间是减函数，

当时，，在区间是增函数，

所以时取得最小值，，

（II）用数学归纳法证明

(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立

(ⅱ)假设当n=k时命题成立　

即若正数满足，

则

当n=k+1时，若正数满足，

令

，，……，

则为正数，且，

由归纳假定知

　

　　　　　　　　　　　①

同理，由，可得

　　　②

综合①、②两式

　

　　　

　　　

　　　

即当n=k+1时命题也成立

根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n命题成立

【解析】略