Question

已知函数f(x)=(ax2-x)lnx-

1

2

ax2+x．（a∈R）．
（I）当a=0时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程（e=2.718…）；
（II）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（ I）当a=0时，f（x）=x-xlnx，f'（x）=-lnx，…（2分）
所以f（e）=0，f'（e）=-1，…（4分）
所以曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y=-x+e．…（5分）
（ II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）f′(x)=(ax2-x)

1

x

+(2ax-1)lnx-ax+1=(2ax-1)lnx，…（6分）
①当a≤0时，2ax-1＜0，在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上递减； …（8分）
②当0＜a＜

1

2

时，在（0，1）和(

1

2a

，+∞)上f'（x）＞0，在(1，

1

2a

)上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）和(

1

2a

，+∞)上单调递增，在(1，

1

2a

)上递减；…（10分）
③当a=

1

2

时，在（0，+∞）上f'（x）≥0且仅有f'（1）=0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；                …（12分）
④当a＞

1

2

时，在(0，

1

2a

)和（1，+∞）上f'（x）＞0，在(

1

2a

，1)上f'（x）＜0
所以f（x）在(0，

1

2a

)和（1，+∞）上单调递增，在(

1

2a

，1)上递减…（14分）