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如图所示,在四面体P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,BC=2,PB=PC,P-BC-A是60°的二面角.
(1)求证:PC⊥AB;
(2)求四面体P-ABC的体积.

(1)证明:作PO⊥面ABC于O,连接AO、BO.
因为PA⊥BC,
所以AO⊥BC,PB⊥AC,BO⊥AC,
故O是△ABC的垂心.
连接CO,有CO⊥AB,

∴AB⊥面POC,
∵PC?面POC,
所以PC⊥AB. (5分)
(2)解:延长AO交BC于D,
得AD⊥BC,
故PD⊥BC,
所以∠PDO是面PBC与面ABC所成角的平面角. (7分)
因为PB=PC,
所以D是BC的中点,
∵BC=2,
∴CD=1.
故AB=AC.
在Rt△PDO中,PO=ODtan60°=OD. (9分)
在Rt△ADC与Rt△CDO中,
因为∠DAC=∠DCO,
所以△ADC∽△CDO,
故有
即AD•OD=CD2==•22═1 (11分)
∴P-ABC的体积:
V=•PO•S△ABC
=)••BC•AD
=•2•()•AD
=OD•AD
=. (13分)
分析:(1)作PO⊥面ABC于O,连接AO、BO.因为PA⊥BC,所以AO⊥BC,PB⊥AC,BO⊥AC,故O是△ABC的垂心.由此能够证明PC⊥AB.
(2)延长AO交BC于D,得AD⊥BC,故PD⊥BC,所以∠PDO是面PBC与面ABC所成角的平面角.因为PB=PC,所以D是BC的中点,故AB=AC.在Rt△PDO中,PO=ODtan60°=OD.在Rt△ADC与Rt△CDO中,因为∠DAC=∠DCO,所以△ADC∽△CDO,由此能够求出P-ABC的体积.
点评:本题考查直线与直线垂直的证明和体积的计算,解题时要认真审题,恰当地连接辅助线,注意合理地反立体几何问题转化为平面几何问题进行求解.易错点是空间思维能力有待于进一步加强.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,在四面体P-ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=2
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.F是线段PB上一点,CF=
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,点E在线段AB上,且EF⊥PB.
(1)证明:PB⊥平面CEF;
(2)求二面角B-CE-F的大小.

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如图所示,在四面体P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,BC=2,PB=PC,P-BC-A是60°的二面角.
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(2)求四面体P-ABC的体积.

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如图所示,在四面体P—ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=8,AC=,PB=10,F是线段PB上一点,,点E在线段AB上,且EF⊥PB.

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如图所示,在四面体P-ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=,F是线段PB上一点,CF=,点E在线段AB上,且EF⊥PB,
(Ⅰ)证明:PB⊥平面CEF;
(Ⅱ)求二面角B-CE-F的大小。

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