Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1： （t为参数），C2： （θ为参数）． （Ⅰ）化C1 ， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=﹣ ，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ ρsinθ=8+2 距离的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C1： （t为参数）， ∴曲线C1的普通方程为：（x﹣4）2+（y+3）2=1，
∵曲线C2： （θ为参数），
∴曲线C2的普通方程为： ，
曲线C1为圆心是（4，﹣3），半径是1的圆．
曲线C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆．
（Ⅱ）当t= 时，P（4，﹣4），
设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），
∵直线C3：ρcosθ﹣ ，
∴直线C3的直角坐标方程为： ﹣（8+2 ）=0，
M到C3的距离d=
=
=
=3﹣ ．
从而当cos（ ）=1时，d取得最小值3﹣
【解析】（Ⅰ）由cos2θ+sin2θ=1，能求出曲线C1 ， C2的普通方程，并能说明它们分别表示什么曲线．（Ⅱ）当t= 时，P（4，﹣4），设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），直线C3的直角坐标方程为： ﹣（8+2 ）=0，由此能求出线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ 距离的最小值．