Question

（本小题满分14分）

如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．
（1）求此正三棱柱的侧棱长；
（2）求二面角的正切值；
（3）求点到平面的距离．

Answer 1

（1）（2）3（3）

（1）设正三棱柱的侧棱长为. 取中点，连结.
∵△是正三角形，∴.                       ．．．．．．．．．．．2分
又底面侧面,且交线为,
∴侧面. 连结，
则直线与侧面所成的角为
在中，，解得.…………………4分
（2）过作于，连结，∵侧面，∴.
∴为二面角的平面角.在中，
．．．．．．．．．．6分
又，∴,又．．．．．．．．．．8分
∴在中，.
故二面角的正切值为3.                        ……………9分
（3）由（2）可知，平面，∴平面平面，且交线为，
∴过作于，则平面.
在中， …………………12分
∵为中点，∴点到平面的距离为.…………………14分
（注：（2）、（3）也可用向量法求解，（3）还可以用等体积法）