Question

【题目】设F1 ， F2分别是C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，

∴M的横坐标为c，当x=c时，y= ，即M（c， ），

若直线MN的斜率为 ，

即tan∠MF1F2= ，

即b2= =a2﹣c2，

即c2+ ﹣a2=0，

则 ，

即2e2+3e﹣2=0

解得e= 或e=﹣2（舍去），

即e= ．

（2）解：由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，

设M（c，y），（y＞0），

则 ，即 ，解得y= ，

∵OD是△MF1F2的中位线，

∴ =4，即b2=4a，

由|MN|=5|F1N|，

则|MF1|=4|F1N|，

解得|DF1|=2|F1N|，

即

设N（x1，y1），由题意知y1＜0，

则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．

即 ，即

代入椭圆方程得 ，

将b2=4a代入得 ，

解得a=7，b= ．

【解析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为 ，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．