Question

设函数y=Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，x∈R，|φ|＜

π

2

，最高点D的坐标为（

π

8

，2），由最高点D运动到相邻最低点时，函数曲线与x轴的交点为（

3π

8

，0）．
（1）求A、ω和φ的值．
（2）求函数y分别取得最大值和最小值时的自变量x的集合．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ，可得函数的解析式．
（2）令 2kπ-

π

2

=2x+

π

4

，k∈z，可得：x=kπ-

3π

8

，k∈z；令2kπ+

π

2

=2x+

π

4

，k∈z，可得：x=kπ+

π

8

，k∈z，从而求出函数y分别取得最大值和最小值时的自变量x的集合．

解答： 解：（1）由最高点的纵坐标可得A=2，再根据

T

4

=

3π

8

-

π

8

=

1

4

×

2π

ω

，求得ω=2．
再把D的坐标（

π

8

，2）代入函数解析式可得 2sin（2×

π

8

+φ）=2，结合|φ|＜

π

2

可得φ=

π

4

，
故函数f（x）=2sin（2x+

π

4

）．
（2）令 2kπ-

π

2

=2x+

π

4

，k∈z，可得：x=kπ-

3π

8

，k∈z；
令2kπ+

π

2

=2x+

π

4

，k∈z，可得：x=kπ+

π

8

，k∈z，
故函数y取得最大值时自变量x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈z}，函数y取得最小值时自变量x的集合是{x|x=kπ-

3π

8

，k∈z}，

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数图象和性质，属于基本知识的考查．