Question

3．以下命题中，正确命题的序号是②③．
①函数y=tanx在定义域内是增函数；
②函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象关于x=$\frac{π}{12}$成轴对称；
③已知$\overrightarrow{b}$=（3，4），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-2，则向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$的方向上的投影是-$\frac{2}{5}$
④如果函数f（x）=ax²-2x-3在区间（-∞，4）上是单调递减的，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 根据正切函数的单调性，可判断①；根据正弦型 函数的对称性，可判断②；根据向量的投影的定义，可判断③；根据函数的单调性，可判断④．

解答 解：函数y=tanx在定义域内不是单调函数，故①错误；
当x=$\frac{π}{12}$时，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，故函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象关于x=$\frac{π}{12}$成轴对称，故②正确；
∵$\overrightarrow{b}$=（3，4），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-2，则向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$的方向上的投影是$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{b}\right|}$=-$\frac{2}{5}$，故③正确；
如果函数f（x）=ax²-2x-3在区间（-∞，4）上是单调递减的，则f′（x）=2ax-2≤0在区间（-∞，4）上恒成立，
解得：a∈[0，$\frac{1}{4}$]．故④错误；
故答案为：②③

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正切函数的单调性，正弦型 函数的对称性，向量的投影，函数的单调性，难度中档．