Question

14．已知圆心为C的圆经过O（0，0））和A（4，0）两点，线段OA的垂直平分线和圆C交于M，N两点，且|MN|=2$\sqrt{5}$
（1）求圆C的方程
（2）设点P在圆C上，试问使△POA的面积等于2的点P共有几个？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求出圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）求出圆心C到直线OA的距离为1，点P到直线OA的距离为1，即可得出结论．

解答 解：（1）OA的中点坐标为（2，0）．则直线MN的方程为x=2，
设圆心C （2，b），…（1分）
又∵直径|MN|=2$\sqrt{5}$，∴|CO|=$\sqrt{5}$，∴（2-0）²+b²=5．
解得b=1或-1…（4分）
∴圆心C （2，1）或C（2，-1）．
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5或（x-2）²+（y+1）²=5．…（6分）
（2）|OA|=4，${S_{△POA}}=\frac{1}{2}|{OA}|h=\frac{1}{2}×4×h=2$，∴h=1，
∴点P到直线OA的距离为1…（7分）
又因为圆心C到直线OA的距离为1…（8分）
圆心的半径为$\sqrt{5}$，而$\sqrt{5}-1＞1$…（10分）
所以，圆C上共有四个点P使△POA的面积为2…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查点与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．