Question

6．已知在平面直角坐标系xOy中的双曲线C，它的中心在原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别为左、右焦点，F₁（-5，0），离心率为5．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）在双曲线右支上一点P满足|PF₁|+|PF₂|=14，试判定△PF₁F₂的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用，F₁（-5，0），离心率为5，求出a，b，c，即可求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）在双曲线右支上一点P满足|PF₁|+|PF₂|=14，根据双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a=2，利用勾股定理判定△PF₁F₂的形状．

解答 解：（Ⅰ）设双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，由题可知c=5，
∵$e=\frac{c}{a}=5$，∴a=1，∴b²=c²-a²=24，…（2分）
∴双曲线的方程为${x^2}-\frac{y^2}{24}=1$；…（4分）
（Ⅱ）根据双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a=2；…（6分）
∵|PF₁|+|PF₂|=14∴|PF₁|=8，|PF₂|=6，…（8分）
又∵|F₁F₂|=2c=10，
∴$|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}=|{F_1}{F_2}{|^2}$，
∴△PF₁F₂是直角三角形．…（10分）

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线的定义，属于中档题．