Question

4．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求|$\overrightarrow{AB}$|；
（2）已知点D是AB上一点，满足$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，点E是边CB上一点，满足$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$．
①当λ=$\frac{1}{2}$时，求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$；
②是否存在非零实数λ，使得$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{CD}$？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求出AB的长即得|$\overrightarrow{AB}$|；
（2）①λ=$\frac{1}{2}$时，D、E分别是BC，AB的中点，求出$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{CD}$的数量积即可；
②假设存在非零实数λ，使得$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{CD}$，利用$\overrightarrow{CB}$、$\overrightarrow{CA}$分别表示出$\overrightarrow{CD}$和$\overrightarrow{AE}$，
求出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$=0时的λ值即可．

解答 解：（1）△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，
由余弦定理得，
AB²=CA²+CB²-2CA•CB•cos∠ACB
=1²+2²-2×1×2×cos60°
=3，
∴AB=$\sqrt{3}$，即|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$；
（2）①λ=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
∴D、E分别是BC，AB的中点，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$，
$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{CB}}^{2}$
=-$\frac{1}{2}$×1²+$\frac{1}{2}$×1×2×cos120°+$\frac{1}{4}$×2×1×cos60°+$\frac{1}{4}$×2²
=$\frac{1}{4}$；
②假设存在非零实数λ，使得$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{CD}$，
由$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{AD}$=λ（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$），
∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{CA}$+λ（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）=λ$\overrightarrow{CB}$+（1-λ）$\overrightarrow{CA}$；
又$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）+λ（-$\overrightarrow{CB}$）=（1-λ）$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$；
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$=λ（1-λ）${\overrightarrow{CB}}^{2}$-λ$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$+（1-λ）²$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$-（1-λ）${\overrightarrow{CA}}^{2}$
=4λ（1-λ）-λ+（1-λ）²-（1-λ）
=-3λ²+2λ=0，
解得λ=$\frac{3}{2}$或λ=0（不合题意，舍去）；
即存在非零实数λ=$\frac{3}{2}$，使得$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{CD}$．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．