Question

f_n（x）=x-

x3

3!

+

x5

5!

-…+(-1)n-1

x2n-1

(2n-1)!

（n∈N^*，x∈[0，1]），则f₂（x），sinx，f₃（x）的大小为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：利用“作差法”，令g（x）=f₂（x）-sinx=x-

x3

3!

-sinx，h（x）=f₃（x）-sinx=(x-

x3

3!

+

x5

5!

)-sinx，分别利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：令g（x）=f₂（x）-sinx=x-

x3

3!

-sinx，
g′（x）=1-

x2

2

-cosx，
g^″（x）=-x+sinx≤0，x∈[0，1]，
∴g′（x）≤g^′（0）=0，
∴g（x）≤g（0）=0，
∴f₂（x）≤sinx．
令h（x）=f₃（x）-sinx=(x-

x3

3!

+

x5

5!

)-sinx，
则h^′（x）=1-

x2

2!

+

x4

4!

-cosx，
h^″（x）=-x+

x3

3!

+sinx≥0，
∴h^′（x）≥h^′（0）=0，
∴h（x）≥h（0）=0，
∴f₃（x）≥sinx．
综上可得：f₃（x）≥sinx≥f₂（x）．
故答案为：f₃（x）≥sinx≥f₂（x）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性比及其“作差法”比较两个数的大小，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．