Question

已知

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，f（x）=

a

•（

a

+

b

）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值，最小值；
（3）若f（x）=

3 2

10

+

3

2

，求sin4x．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：运用向量的坐标运算得到f（x），然后化简为最简形式，依据三角函数性质解答．

解答： 解：（1）由已知，

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，所以f（x）=

a

•（

a

+

b

）=sinx（sinx+cosx）+2cos²x=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

；
（2）由（1）得，f（x）═

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，x∈[-

π

4

，

π

4

]，2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
所以f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值为f（

π

8

）=

2

2

+

3

3

，最小值为f（-

π

4

）=

2

2

×(-

2

2

)+

3

2

=1；
（3）f（x）=

3 2

10

+

3

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，所以sin（2x+

π

4

）=

3

5

，sin4x=-cos（4x+

π

2

）=-1+2sin²（2x+

π

4

）=-1+2×

9

25

=

7

25

．

点评：本题考查了向量的坐标运算以及运用基本关系式、倍角公式等化简三角函数式，注意符号和名称．