Question

已知等比数列{a_n}满足a₁=1，0＜q＜

1

2

，且对任意正整数k，a_k-（a_k+1+a_k+2）仍是该数列中的某一项，则公比q的取值集合为______．

Answer 1

等比数列{a_n}的通项公式为a_n=q^n-1，
a_k-（a_k+1+a_k+2）qk•(

1

q

-1-q)，
要使仍是该数列中的一项，则

1

q

-1-q=qⁿ，
∵0＜q＜

1

2

，则

1

q

-1-q＞

1

2

，
即q⁰=1或qⁿ＜

1

2

，
∴

1

q

-1-q=1，
即q²+2q-1=0，
解得q=

2

-1，
故公比q的取值集合为{

2

-1}，
故答案为：{

2

-1}