Question

已知函数f(x)(x∈R，x≠

1

a

)满足ax-f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的实数x只有一个．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列a_n满足a1=

2

3

，an+1=f(an)，bn=

1

an

-1，n∈N+，证明数列b_n是等比数列，并求出b_n的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1，n∈N⁺．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）满足ax-f（x）=2bx+f（x），易得f（x）=

2bx

ax-1

；又由f（1）=1，且f（x）=2x只有一解，可得a、b的值；从而得f（x）的表达式．
（Ⅱ）由a_n+1=f（a_n），可得a_n+1=

2an

an+1

，整理得，数列{

1

an+1

-1}是等比数列；且通项公式a_n=

2n

2n+1

，从而得b_n的通项公式．
（Ⅲ）由a_n、b_n的通项公式，易得a_nb_n的表达式为：

1

2n+1

，即得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

1

21+1

+

1

22+1

+…+

1

2n+1

，通过放缩即可证得．

解答：解：（Ⅰ）由ax-f（x）=2bx+f（x），（其中x≠

1

a

，a≠0），得f（x）=

2bx

ax-1

；
由f（1）=1，得a=2b+1①；
又f（x）=2x只有一解，即

2bx

ax-1

=2x，也就是2ax²-2（1+b）x=0（其中a≠0）只有一解，
∴4（1+b）²-4×2a×0=0，∴b=-1；
代入①，得a=-1；故f（x）=

2x

x+1

．
（Ⅱ）∵a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），∴a_n+1=

2an

an+1

，即

1

an+1

=

an+1

2an

；∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
∴数列{

1

an+1

-1}是以

1

a1

-1=

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列；∴a_n=

2n

2n+1

；
∵b_n=

1

an

-1=

2n +1

2n

-1=

1

2n

（n∈N^*），∴

bn+1

bn

=

1

2

（n∈N^*）；
∴{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，其通项公式为：b_n=

1

2n

．
（Ⅲ）∵a_nb_n=a_n（

1

an

-1）=1-a_n=1-

2n

2n+1

=

1

2n+1

，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

1

21+1

+

1

22+1

+…+

1

2n+1

＜

1

21

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1（n∈N^*），即证．

点评：本题考查了数列与函数、方程，以及数列与不等式的综合应用问题，解题时应认真分析，细心解答，以免出错．