Question

9．如图，过点A分别作⊙O的切线AP与割线AC，P为切点，AC与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，BD∥AP，PC与BD交于点N．
（1）在线段BC上是否存在一点M，使A，P，O，M四点共圆？若存在，请确定点M的位置，若不存在，请说明理由．
（2）若CP=CD，证明：CB=CN．

Answer 1

分析 （1）M是BC的中点时，证明对角互补，可得A，P，O，M四点共圆；
（2）利用弦切角定理、圆周角定理及等腰三角形的性质，即可证明结论．

解答 （1）解：M是BC的中点时，A，P，O，M四点共圆．
∵M是BC的中点，∴OM⊥AM，
∵AP是圆O的切线，
∴OP⊥PA，
∴∠OMA+∠OPA=180°，
∴A，P，O，M四点共圆．
（2）证明：∵BD∥AP，∴∠APC=∠BNC，
∵AP是圆O的切线，
∴∠APC=∠PDC，
∵CP=CD，
∴∠PDC=∠DPC，
∵∠DPC=∠NBC，
∴∠BNC=∠NBC，
∴CB=CN．

点评 本题考查四点共圆的证明，考查弦切角定理、圆周角定理及等腰三角形的性质，属于中档题．