甲.乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目.共3关.甲作为嘉宾参与答题.若甲回答错误.乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助机会.若乙回答正确.则甲继续闯关.若某一关通不过.则收获前面所有累积奖金．约定每关通过得到奖金2000元.设甲每关通过的概率为$\frac{3}{4}$.乙每关通过的概率为$\frac{1}{2}$.且各关是否通� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．甲、乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目，共3关，甲作为嘉宾参与答题，若甲回答错误，乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助机会，若乙回答正确，则甲继续闯关，若某一关通不过，则收获前面所有累积奖金．约定每关通过得到奖金2000元，设甲每关通过的概率为$\frac{3}{4}$，乙每关通过的概率为$\frac{1}{2}$，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立．
（1）求甲、乙获得2000元奖金的概率；
（2）设X表示甲、乙两人获得的奖金数，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．

分析（1）甲、乙获得2000元奖金的概率有两种情况：①第一关甲答对，第二关甲、乙都答错；②第一关甲答错，乙答对，第二关甲答错，可求得结论；
（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求随机变量X的分布列及数学期望．

解答解：（1）甲、乙获得2000元奖金的概率有两种情况：①第一关甲答对，第二关甲、乙都答错；②第一关甲答错，乙答对，第二关甲答错．
故其概率为：P=$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$…（4分）
（2）根据题意，X=0，2000，4000，6000，
P（X=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$；…（6分）
P（X=2000）=$\frac{1}{8}$；
P（X=4000）=$（\frac{3}{4}）^{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{4}$=$\frac{15}{128}$；…（8分）
P（X=6000）=$（\frac{3}{4}）^{3}+（\frac{3}{4}）^{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×{C}_{3}^{1}$=$\frac{81}{128}$…（10分）
随机变量X的分布列为

X	0	2000	4000	6000
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{15}{128}$	$\frac{81}{128}$

所以E（X）=0×$\frac{1}{8}$+2000×$\frac{1}{8}$+4000×$\frac{15}{128}$+6000×$\frac{81}{128}$=$\frac{36125}{8}$（元）…（12分）

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．

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