Question

6．数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a_n+a_n+1+a_n+2=cos$\frac{2nπ}{3}$（n∈N^*），若数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由a_n+a_n+1+a_n+2=cos$\frac{2nπ}{3}$（n∈N^*），可求得a₂₀₁₀+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂=a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉═…=a₃+a₄+a₅=1，再结合a₁=a₂=1，即可求得S₂₀₁₂的值．

解答 解：∵2010=670×3
∴a₂₀₁₀+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂=cos（2010×$\frac{2π}{3}$）=cos（670×2π）=cos2π=1，
同理：a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉═cos（2007×$\frac{2π}{3}$）=cos2π=1，
…
a₃+a₄+a₅=cos2π=1，
∴S₂₀₁₂=（a₂₀₁₂+a₂₀₁₁+a₂₀₁₀）+（a₂₀₀₉+a₂₀₀₈+a₂₀₀₇）+…+（a₅+a₄+a₃）+a₂+a₁
=670×1+a₂+a₁
=670+2
=672．
故答案为：672．

点评 本题考查数列的求和，求得a₂₀₁₀+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂=a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉═…=a₃+a₄+a₅=1是关键，考查整体思想与运算求解能力，属于中档题．