Question

20．已知数列{a_n}各项不为0，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
（1）求{a_n}的通项a_n．
（2）若b_n=na${\;}_{{2}^{n}-1}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（3）用数学归纳法证明：a₁+a₂+a₃+…+a${\;}_{{2}^{n-1}}$＞$\frac{n-2}{2}$（n≥2）

Answer 1

分析 （1）根据数列递推公式可得$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=1$，即可得到{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2为首项1为公差的等差数列，问题得以解决，
（2）根据错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和S_n．
（3）利用数学归纳法即可证明．

解答 解：（1）数列{a_n}各项不为0，${a_1}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=1$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2为首项1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+n-1=n+1
∴${a_n}=\frac{1}{n+1}$，
（2）${b_n}=n{a_{{2^n}-1}}=\frac{n}{2^n}$，
∴${S_n}=1•\frac{1}{2}+2•\frac{1}{2^2}+3•\frac{1}{2^3}+…+n•\frac{1}{2^n}$，
∴$\frac{1}{2}{S_n}=1•\frac{1}{2^2}+2•\frac{1}{2^3}+3•\frac{1}{2^4}+…+n•\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
∴$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{{{2^{\;}}}}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-n\frac{1}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+4}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${S_n}=2-\frac{n+4}{2^n}$
（3）①当n=2时，左=$\frac{1}{2}$＞0=右，
∴不等式成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N^*）时，不等式成立．
即$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2k-1}$＞$\frac{k-2}{2}$成立．
那么n=k+1时，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2k-1}$+$\frac{1}{2k-1+1}$+…+$\frac{1}{2k-1+2k-1}$
＞$\frac{k-2}{2}$+$\frac{1}{2k-1+1}$+…+$\frac{1}{2k}$＞$\frac{k-2}{2}$+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k}$+…+$\frac{1}{2k}$=$\frac{k-2}{2}$+$\frac{2k-1}{2k}$=$\frac{（k+1）-2}{2}$，
∴当n=k+1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n∈N^*且n≥2时成立．

点评 本题考查用数列的递推公式和错位相减法以及数学归纳法证明等式，证明n=k+1时等式成立，是解题的难点和关键．