Question

(本小题满分12分)

在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°.

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；

（Ⅱ）求二面角A—BC—D的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）因为△ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，所以AD⊥CD.又∠BDC＝90°，所以BD⊥CD. 因为AD与BD交于点D，所以CD⊥面ABD.    

(Ⅱ)   .       

解析:

（Ⅰ）因为△ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，所以AD⊥CD.    （2分）

又∠BDC＝90°，所以BD⊥CD. 因为AD与BD交于点D，所以CD⊥面ABD.      （5分）

(Ⅱ) 如图，取BC的中点E，连DE、AE

因为AB＝AC，则AE⊥BC. 因为BD＝CD，则DE⊥BC.

所以∠AED为二面角A—BC—D的平面角.                                      （7分）

因为AD⊥BD，AD⊥CD，所以AD⊥面BCD.

设AD＝1，则BD＝DC＝1，AB＝AC＝BC＝.

从而△ABC是正三角形，所以AE＝.                            （10分）

在Rt△ADE中，sin∠AED＝.                                       （11分）

所以cos∠AED＝，故二面角A—BC—D的余弦值为.                     （12分）