Question

11．如图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的中心在原点，焦点在x轴上，其右焦点F的坐标为（c，0），过F作斜率为1的直线，交椭圆于A、B两点，若椭圆上存在一点C，使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$．
（1）求a与b之间的等量关系．
（2）若|$\overrightarrow{AB}$|=5，求该椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由题意可得直线AB的方程为，y=x-c．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，可得点C的坐标，代入椭圆方程，再利用c²=a²-b²，即可得出a与b之间的等量关系．
（2）若|$\overrightarrow{AB}$|=5，利用弦长公式求出a，b，即可求该椭圆的方程．

解答 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由题意可得直线AB的方程为，y=x-c．
代入椭圆方程，化为（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
∵△＞0，∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴y₁+y₂=x₁+x₂-2c=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-2c=-$\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，∴（x_c，y_c）=（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+x₂，y₁+y₂）．
∴x_c=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，y_c=-$\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵点C在椭圆上，∴代入椭圆方程，化为4c²=a²+b²，
∵c²=a²-b²，∴4（a²-b²）=a²+b²，化为a=$\frac{\sqrt{15}}{3}$b；
（2）由（1）知，b=$\frac{\sqrt{15}}{5}a$，c=$\frac{\sqrt{10}}{5}$a，
∴x₁+x₂=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a，x₁x₂=-$\frac{1}{8}{a}^{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{\frac{10}{16}{a}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$a=5，
∴a=$\frac{10}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{100}{9}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{60}{9}}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算等基础知识与基本技能方法，属于中档题．