Question

6．如图所示，已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，P是△ABC内任意一点，求证：$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PE}$+$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$．

Answer 1

分析 利用向量的中点公式，即可得出结论．

解答 证明：由题意，∵D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴$\overrightarrow{PD}$-$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）
$\overrightarrow{PE}$-$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$）
$\overrightarrow{PF}$-$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$）
∴三式相加得：$\overrightarrow{PD}$-$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PE}$-$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PF}$-$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PE}$+$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，

点评 本题考查向量在几何中的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用向量的中点公式是关键．