Question

11．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[1，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的取值为（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 根据函数f（x）=x²+ax+b的值域为[1，+∞），得出a²-4b+4=0①；
再由f（x）＜c的解集为（m，m+6），得出a²-4（b-c）=36②；由此求出c的值．

解答 解：∵函数f（x）=x²+ax+b的值域为[1，+∞），
∴x²+ax+b-1≥0，
∴△=a²-4（b-1）=0，
即a²-4b+4=0①；
又∵f（x）＜c的解集为（m，m+6），
∴f（x）-c=x²+ax+b-c=0的两个实数根为m，m+6，
令x₁=m，x₂=m+6，则|x₁-x₂|=6，
∴（x1+x2）2-4x₁x₂=36，
即a²-4（b-c）=36②；
由①②得c=10．
故选：B．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．