Question

19．过抛物线y²=2x的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB．
（1）求AB中点的轨迹方程；
（2）求证：直线AB过定点．

Answer 1

分析 （1）设直线OA的方程为y=kx（k≠0），代入抛物线方程，求得交点A，再设出直线OB的方程，可得交点B，再由中点坐标公式，运用平方消元，即可得到中点的轨迹方程；
（2）求得直线AB的方程，化简整理，再令y=0，可得x=2，即可得证．

解答 （1）解：∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0，
∴设直线OA的方程为y=kx（k≠0），
∴联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，解得x_A=$\frac{2}{{k}^{2}}$，y_A=$\frac{2}{k}$，
以-$\frac{1}{k}$代上式中的k，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，
解得x_B=2k²，y_B=-2k
∴A（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），B（2k²，-2k），
设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}（\frac{2}{{k}^{2}}+2{k}^{2}）}\\{y=\frac{1}{2}（\frac{2}{k}-2k）}\end{array}\right.$，
消去参数k，得y²=x-2，
即为AB中点的轨迹方程．
（2）证明：由（1）得A（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），B（2k²，-2k），
则AB的斜率为$\frac{\frac{2}{k}+2k}{\frac{2}{{k}^{2}}-2{k}^{2}}$=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，
则有直线AB的方程为y+2k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-2k²），
即为y=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-2），
令y=0，解得x=2．
则直线AB恒过定点（2，0）．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，求交点，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及直线恒过定点的求法，属于中档题．