Question

4．设函数f（x）=2lnx+2x-a，若存在b∈[1，e]，使得f[f（b）]=b成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [2，2+2e]
• B． [1，2+2e]
• C． [0，2]
• D． [1，2+e]

Answer 1

分析 由f′（x）=$\frac{2}{x}+2＞0$知f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以根据f[f（b）]=b得到f（b）=b，所以知道2lnx+2x-a=x在[1，e]上有实数根．所以得到a=2lnx+x，设h（x）=2lnx+x，通过求h′（x）＞0便可判断h（x）在[1，e]上单调递增，这样即可求h（x）在[1，e]上的最大值，最小值，从而求出h（x）在[1，e]上的值域，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：f′（x）=$\frac{2}{x}+2＞0$，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴由f[f（b）]=b，得f（b）=b；
则f（x）=x在[1，e]上有根；
即2lnx+2x-a=x；
∴a=2lnx+x；
令h（x）=2lnx+x，$h′（x）=\frac{2}{x}+1＞0$；
∴h（x）在[1，e]上单调递增；
∴h（x）_min=h（1）=1，h（x）_max=h（e）=2+e；
∴a∈[1，2+e]；
即实数a的取值范围是[1，2+e]．
故选D．

点评 考查函数导数符号和函数单调性的关系，单调函数f（x）满足f[f（b）]=b时便可得到f（b）=b，根据函数的单调性求函数的最值，从而得到函数在闭区间上的值域．