Question

4．若sin³θ-3$\sqrt{3}$cos³θ≥0，0＜θ＜2π，则角θ的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{π}{3}$]
• B． [$\frac{π}{3}，π$]
• C． [$\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}$]
• D． [$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]

Answer 1

分析 由已知可得sin³θ≥3$\sqrt{3}$cos³θ，从而分情况讨论即可求角θ的取值范围．

解答 解：∵sin³θ-3$\sqrt{3}$cos³θ≥0，
⇒sin³θ≥3$\sqrt{3}$cos³θ，
若cosθ=0，⇒θ=$\frac{π}{2}$，
若cosθ＞0，⇒tan³θ$≥\sqrt{27}$
⇒tanθ$≥\sqrt{3}$，0＜θ＜2π，
⇒$\frac{π}{3}≤θ＜\frac{π}{2}$或$\frac{4π}{3}≤θ＜\frac{3π}{2}$．
若cosθ＜0，⇒tan³θ≤$\sqrt{27}$，0＜θ＜2π，
⇒（$\frac{π}{2}$，$\frac{4π}{3}$]
结合选项，
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用以及三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．