Question

14．如图，在三棱锥A-BCD中，BC=DC=AB=AD=$\sqrt{2}$，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P-QCO体积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{48}$．

Answer 1

分析 利用等腰三角形的性质可得AO⊥BD，再利用面面垂直的性质可得AO⊥平面BCD，利用三角形的面积计算公式可得S_△OCQ=$\frac{1}{2}CO•CQ•sin∠OCQ$，利用V_{三棱锥P-OCQ}=$\frac{1}{3}PO•{S}_{△OCQ}$，及其基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设AP=x，
∵O为BD中点，AD=AB=$\sqrt{2}$，
∴AO⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴AO⊥平面BCD．
∴PO是三棱锥P-QCO的高．
AO=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=1．
∴OP=1-x，（0＜x＜1）．
在△BCO中，BC=$\sqrt{2}$，OB=1，
∴OC=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=1，
∠OCB=45°．
∴S_△OCQ=$\frac{1}{2}CO•CQ•sin4{5}^{°}$=$\frac{1}{2}x×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}x$．
∴V_{三棱锥P-OCQ}=$\frac{1}{3}PO•{S}_{△OCQ}$=$\frac{1}{3}×（1-x）×\frac{\sqrt{2}}{4}x$
=$\frac{\sqrt{2}}{12}x（1-x）$$≤\frac{\sqrt{2}}{12}（\frac{x+1-x}{2}）^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{48}$．当且仅当x=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴三棱锥P-QCO体积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{48}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{48}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、面面垂直的性质、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．