Question

20．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$（n∈N^*），则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据数列的函数性质，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：假设a_n是数列中的最大项，则当n≥2时，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}≥{a}_{n+1}}\\{{a}_{n}≥{a}_{n-1}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}≥\frac{（n+1）^{2}}{{2}^{n+1}}}\\{\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}≥\frac{（n-1）^{2}}{{2}^{n-1}}}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{2{n}^{2}≥{n}^{2}+2n+1}\\{{n}^{2}≥2{n}^{2}-4n+2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-2n-1≥0}\\{{n}^{2}-4n+2≤0}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{n≥1+\sqrt{2}或n≤1-\sqrt{2}}\\{2-\sqrt{2}≤n≤2+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得1+$\sqrt{2}$≤n≤2+$\sqrt{2}$，
则n=3，
即数列中存在最大项，最大项为a₃=$\frac{9}{8}$．

点评 本题主要考查数列项的最值的求解，根据条件建立不等式$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}≥{a}_{n+1}}\\{{a}_{n}≥{a}_{n-1}}\end{array}\right.$是解决本题的关键．