Question

16．如图所示的直角坐标平面上有三点A（-1，1），B（1，-1），D（1，4）．
（1）求满足等式x²$\overrightarrow{AB}$+x$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$的实数x；
（2）设向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$以A为始点，求其终点C的坐标并计算四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标公式根据等式x²$\overrightarrow{AB}$+x$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$，建立方程关系即可求x；
（2）根据向量的基本定理建立方程关系即可求出C的坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：（1）∵A（-1，1），B（1，-1），D（1，4）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，-2），$\overrightarrow{AD}$=（2，3），$\overrightarrow{DB}$=（0，-5），
∵x²$\overrightarrow{AB}$+x$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$，
∴x²（2，-2）+x（2，3）=（0，-5），
即（2x²+2x，3x-2x²）=（0，-5），
则$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+2x=0}\\{3x-2{x}^{2}=-5}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=0或x=-1}\\{x=-1或x=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得x=-1．
（2）$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=（2，-2）+（2，3）=（4，1）=$\overrightarrow{AC}$，
设C（x，y），则（x+1，y-1）=（4，1），
即$\left\{\begin{array}{l}{x+1=4}\\{y-1=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（3，2）．
∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴四边形ABCD是平行四边形，
则BD=4-（-1）=5，A到BD的距离AE=1-（-1）=2，
则△ABD的面积S_△ABD=$\frac{1}{2}AE•BD=\frac{1}{2}×2×5=5$，
则四边形ABCD的面积S=2S_△ABD=2×5=10．

点评 本题主要考查平面向量的应用，要求熟练掌握向量的坐标公式以及坐标的基本运算．