Question

17．设正项等比数列{a_n}，已知a₂=2，a₃a₄a₅=2⁹．
（1）求首项a₁和公比q的值；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{n}$（lga₁+lga₂+…lga_n-1+lga_n），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用指数与对数的运算性质、等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₃a₄a₅=2⁹，
∴$（{a}_{4}）^{3}$=2⁹，解得a₄=2³=8．
∴$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}$=q²=4，解得q=±2，
∵该数列是一个正项等比数列，
∴取q=2，
由此，解得a₁=1．
（2）由（1）可得：${a}_{n}={2}^{n-1}$．
∴a₁a₂•…•a_n=1×2×2²×…×2^n-1=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
∴b_n=$\frac{1}{n}$（lga₁+lga₂+…lga_n-1+lga_n）=$\frac{1}{n}$•lg（a₁a₂•…•a_n）=$\frac{1}{n}$$•lg{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$=$\frac{n-1}{2}lg2$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}lg2×\frac{n（0+n-1）}{2}$=$\frac{lg2}{4}（{n}^{2}-n）$．

点评 本题考查了指数与对数的运算性质、等比数列与等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．