Question

7．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n，用[x]表示不超过x的最大整数，则$[{\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2014}}+1}}}]$的值等于（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 a_n+1=a_n²+a_n，a₁=$\frac{1}{2}$，可得${a}_{n+1}-{a}_{n}={a}_{n}^{2}$＞0，因此数列{a_n}单调递增．a₂=$（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，${a}_{3}=（\frac{3}{4}）^{2}+\frac{3}{4}$=$\frac{21}{16}$＞1，可得0＜$\frac{1}{{a}_{2015}}$＜1．变形$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$，即$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$．利用“裂项求和”可得：$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2014}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2015}}$，即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n²+a_n，a₁=$\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}={a}_{n}^{2}$＞0，
∴a_n+1＞a_n，
∴数列{a_n}单调递增，
a₂=$（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
${a}_{3}=（\frac{3}{4}）^{2}+\frac{3}{4}$=$\frac{21}{16}$＞1，
∴0＜$\frac{1}{{a}_{2015}}$＜1
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2014}+1}$
=$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{2014}}-\frac{1}{{a}_{2015}}）$
=2-$\frac{1}{{a}_{2015}}$
∴$1＜2-\frac{1}{{a}_{2015}}＜2$．
∴$[{\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2014}}+1}}}]$=1．
故选：B．

点评 本题考查了递推式的应用、变形能力、[x]的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．