Question

19．半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，则圆柱的表面积为（　　）

• A． 3πR²
• B． 2πR²
• C． $\frac{5π{R}^{2}}{2}$
• D． $\frac{7π{R}^{2}}{2}$

Answer 1

分析 由题意圆柱的底面为球的截面，由球的截面性质可得出圆柱的高为h、底面半径为r与球的半径为R的关系，再用h和r表示出圆柱的侧面积，利用基本不等式求最值即可．

解答 解：如图为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，
则（$\frac{h}{2}$）²+r²=R²，
即h=2 $\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$．
∵S=2πRh=4πr•$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=4π $\sqrt{{r}^{2}（{R}^{2}-{r}^{2}）}$≤4π $\sqrt{\frac{（{r}^{2}+{R}^{2}-{r}^{2}）^{2}}{4}}$=2πR²，
取等号时，内接圆柱底面半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$R，高为 $\sqrt{2}$R．
圆柱的表面积为：2πR²+2π（$\frac{\sqrt{2}}{2}$R）²=3πR²．
故选：A．

点评 本题考查球与圆柱的组合体问题、以及利用基本不等式求最值问题，难度一般．