Question

14．已知x＞y＞0，log₃（$\frac{x-y}{2}$）²=log₃（xy），则log₃（$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{2}$）=0．

Answer 1

分析 由x＞y＞0，log₃（$\frac{x-y}{2}$）²=log₃（xy），可得$（\frac{x-y}{2}）^{2}$=xy，化为$（\frac{x}{y}）^{2}-6•（\frac{x}{y}）$+1=0，x＞y＞0．解出$\frac{x}{y}$，代入利用对数的运算性质即可得出．

解答 解：∵x＞y＞0，log₃（$\frac{x-y}{2}$）²=log₃（xy），
∴$（\frac{x-y}{2}）^{2}$=xy，
化为$（\frac{x}{y}）^{2}-6•（\frac{x}{y}）$+1=0，x＞y＞0．
解得$\frac{x}{y}$=$3+2\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{\frac{x}{y}}$=$\sqrt{2}$+1，
则log₃（$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{2}$）=log₃1=0，
故答案为：0．

点评 本题考查了对数的运算性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．