Question

3．给出下列四个命题：①4^0.5＞（$\frac{1}{3}$）^1.5＞log_0.54.3
②方程x²+x+n=0（n∈[0，1]）有实数根的概率为$\frac{1}{4}$
③三个实数a，b，c成等比数列，若有a+b+c=1成立，则b的取值范围是[-1，0）∪（0，$\frac{1}{3}$]
④函数y=$\sqrt{3}$sinx+cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的最大值为$\sqrt{3}$．
其中是真命题的序号是①②③．

Answer 1

分析 ①log_0.54.3＜0，4^0.5＞1＞（$\frac{1}{3}$）^1.5，可得结论；
②方程x²+x+n=0（n∈[0，1]）有实数根，则△=1-4n≥0，可得n≤$\frac{1}{4}$，即可求出方程x²+x+n=0（n∈[0，1]）有实数根的概率；
③依题意设公比为q，则可分别表示出a和c，进而可用q表示出b，对q＞0和q＜0两种情况分类讨论，利用基本不等式求得b的范围；
④函数y=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，则x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，所以最大值为2．

解答 解：①log_0.54.3＜0，4^0.5＞1＞（$\frac{1}{3}$）^1.5，∴4^0.5＞（$\frac{1}{3}$）^1.5＞log_0.54.3，即①正确；
②方程x²+x+n=0（n∈[0，1]）有实数根，则△=1-4n≥0，∴n≤$\frac{1}{4}$，∴方程x²+x+n=0（n∈[0，1]）有实数根的概率为$\frac{1}{4}$，即②正确；
③设公比为q，显然q不等于0，a+b+c=b（$\frac{1}{q}$+1+q）=1，∴b=$\frac{1}{1+q+\frac{1}{q}}$．当q＞0时，q+$\frac{1}{q}$≥2，∴0＜b≤$\frac{1}{3}$
当q＜0时，q+$\frac{1}{q}$≤-2，0＞b≥-1，综上：b的取值范围是[-1，0）∪（0，$\frac{1}{3}$]，故正确；
④函数y=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，则x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，所以最大值为2，故不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查命题真假的判断，主要考查了指数、对数函数的性质，考查概率知识，考查等比数列的性质，以及基本不等式的应用．考查了学生对基础知识的综合把握．