Question

11．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴，直线y=-4x+1被抛物线C所截得的弦AB的中点M横坐标为$\frac{3}{8}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：存在顶点M₀，使过M₀的动直线与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过原点．
（3）过满足（2）条件的点M₀的直线l与抛物线C分别交于A，B两点．若$\overrightarrow{A{M}_{0}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{M}_{0}B}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程设为y²=ax（a＞0），直线l的方程为：y=-4x+1，联立方程组，得16x²-（8+a）x+1=0，由此利用韦达定理结合已知条件求出抛物线C的方程为y²=4x．
（2）假设存在满足条件的定点M₁，设动直线方程为y=kx+b（k≠0），联立抛物线方程，得ky²-4y+4b=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在异于原点的定点M₀（4，0）满足条件；
（3）设出直线l的方程，联立抛物线方程，消去x，得到y的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解得k，进而得到直线方程．

解答 （1）解：∵抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，
∴设抛物线方程设为y²=ax（a＞0），①
直线l的方程为：y=-4x+1，②
将②代入①，整理得
16x²-（8+a）x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由题意知x₁+x₂=$\frac{8+a}{16}$=2×$\frac{3}{8}$，
解得a=4，
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（2）证明：假设存在满足条件的定点M₀，
设动直线方程为y=kx+b（k≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-4y+4b=0，
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
y₃+y₄=$\frac{4}{k}$，y₃y₄=$\frac{4b}{k}$，
x₃x₄=$\frac{{y}_{3}-b}{k}$•$\frac{{y}_{4}-b}{k}$=$\frac{{y}_{3}{y}_{4}-b（{y}_{3}+{y}_{4}）+{b}^{2}}{{k}^{2}}$
=$\frac{\frac{4b}{k}-\frac{4b}{k}+{b}^{2}}{{k}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，
∵以PQ为直径圆过原点，
∴x₃x₄+y₃y₄=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{4b}{k}$=0，
解得b=-4k，
∴y=kx-4k=k（x-4），恒过定点（4，0），
当直线的斜率不存在时，设直线方程为x=x₀，
由题意解得x₀=4，
∴存在异于原点的定点M₀（4，0）满足条件．
（3）解：设直线AB：y=k（x-4），
代入抛物线方程y²=4x可得，ky²-4y-16k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M₀（4，0），
则y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-16，
若$\overrightarrow{A{M}_{0}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{M}_{0}B}$，则-y₁=$\frac{1}{2}$y₂，
解得k=±$\sqrt{2}$，
则有直线l：y=$±\sqrt{2}$（x-4）．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和向量共线的坐标表示的合理运用．