Question

4．如图所示，三棱锥P-ABC中，点D为线段AB上一点，AC⊥BC，PD⊥平面ABC，AD=$\frac{1}{2}$DB，PD=BD，∠ABC=30°．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，由三角形相似定理判断出∴△ABC∽△ACD，得到∠ADC=90°，即AB⊥CD，再由线面垂直的判定定理和定义即可得到PA⊥CD；
（2）由线线垂直关系建立空间直角坐标系，设AC=2，分别求出P、B、C以及$\overrightarrow{CP}$、$\overrightarrow{CP}$的坐标，由向量的数量积运算求出平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$的坐标，由CD⊥平面PAB求出平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，即可求出二面角C-PB-A的余弦值．

解答 （1）证明：∵在Rt△∠ABC中，∠ABC=30°，AD=$\frac{1}{3}$DB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{\frac{1}{4}AB}{AC}=\frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，且∠CAB=∠DAC，
∴△ABC∽△ACD，则∠ADC=90°，即AB⊥CD，
∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥CD，
又PD∩AB=D，∴CD⊥平面PAB，
∴PA⊥CD；
（2）解：由（1）得，CD、AB、PD两两垂直，以CD为x轴、AB为y轴、PD为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=2，则AB=4，则C（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，3，3），P（0，0，3），
∴$\overrightarrow{CP}$=（$-\sqrt{3}$，0，3），$\overrightarrow{CB}$=（$-\sqrt{3}$，3，0），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+3z=0}\\{-\sqrt{3}+3y=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{3}$，则y=z=1，∴$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
∵CD⊥平面PAB，∴平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设二面角C-PB-A的平面角为θ，∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}×1}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的判定定理和定义，向量的坐标运算、数量积运算，以及利用平面的法向量求二面角的余弦值，属于难题．