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    给定常数，定义函数，数列满足.

    （1）若，求及；

    （2）求证：对任意，；

    （3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.

     

    【答案】

    见解析

    【解析】（1）因为，，故，

    （2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，

    即只需证明

    若，显然有成立；

    若，则显然成立

    综上，恒成立，即对任意的，

    （3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有

    此时，

    即

    故，

    即，

    当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；

    若，则，

    此时，也满足题意；

    综上，满足题意的的取值范围是．

    【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题。

     

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    已知函数f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（x∈R，p1，p2为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=
    f1(x)若f1(x)≤f2(x)
    f2(x)若f1(x)＞f2(x)

    （1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；
    （2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为
    b-a
    2
    （闭区间[m，n]的长度定义为n-m）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义函数fK（x）=
    f(x)，  f(x) ＞K
    K， f(x) ≤ K
    （K为给定常数），已知函数f（x）=
    5
    2
    x2-3x2    lnx，若对于任意的x∈（0，+∞），恒有fK（x）=K，则实数K的取值范围为
    [
    3
    2
    e
    2
    3
    ，+∞)
    [
    3
    2
    e
    2
    3
    ，+∞)
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•上海）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．
    （1）若a1=-c-2，求a2及a3；
    （2）求证：对任意n∈N*，an+1-an≥c；
    （3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数g(x)=
    x1+x2
    (x＞0)    ，f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
    （1）证明：函数g（x）在（0，1]单调递增；
    （2）求I的长度（注：区间（α，β）的长度定义为β-α）；
    （3）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．

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