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已知向量
m
=(1,1)
,向量
n
与向量
m
的夹角为
4
,且
n
m
=-1

(1)求向量
n
的坐标;
(2)若向量
n
与向量
i
的夹角为
π
2
,向量
p
=(x2a2),
q
=(a2,x)
,求关于x的不等式(
p
+
n
)•
q
<1
的解集.
分析:(1)设
n
=(x,y),根据向量的数量积运算公式,列出关于x,y的方程组,并解出x,y即得向量
n
的坐标;
(2))若向量
n
与向量
i
的夹角为
π
2
,,则
n
=(0,-1),根据向量的数量积运算公式,将不等式化为a2x2+(a2-1)x-1<0,对分类讨论解即可
解答:解:设
n
=(x,y)则
m
|=
n
m
n
|cos
4
=1
x+y=-1
解得
x=0
y=-1
x=-1
y=0
n
=(0,-1)或(-1,0)

(2)若向量
n
与向量
i
的夹角为
π
2
,,则
n
=(0,-1)
(
p
+
n
)•
q
<1
即为(x2,a2-1)•(a2,x)<1
a2x2+(a2-1)x-1<0
(ax+1)(ax-1)<0
当a=0时,-1<0,不等式恒成立,即解集为R.
当a≠0时.(ax+1)(ax-1)=0的两根为-
1
a
1
a

     当a>0时,解集为{x|-
1
a
<x<
1
a
}
     当a<0时,解集为 {x|x>-
1
a
,或x<
1
a
}
点评:本题考查向量的数量积运算公式及其应用,含参数的二次不等式的解.考查转化,分类讨论的思想方法.对于含参数的二次不等式的解,务必注意二次项系数的正负情况.一方面影响抛物线的开口方向,另一方面影响函数的两个零点的大小.
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(1,1)
,向量
n
与向量
m
夹角为
3
4
π
,且
m
n
=-1

(1)若向量
n
与向量
q
=(1,0)的夹角为
π
2
,向量
p
=(cosA,2cos2
C
2
)
,其中A,C为△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,试求|
n
+
p
|的取值范围.
(2)若A、B、C为△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,A≤B≤C,设f(A)=sin2A-2(sinA+cosA)+a2,f(A)的最大值为5-2
2
,关于x的方程sin(ax+
π
3
)=
m
2
(a>0)
[0,
π
2
]
上有相异实根,求m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(
3
sin
x
4
,1),
n
=(cos
x
4
,cos2
x
4
)
,记f(x)=
m
n

(1)求f(x)的值域和单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,若f(A)=
1+
3
2
,试判断△ABC的形状.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(λ+1,1),
n
=(λ+2,2)
,若(
m
+
n
)⊥(
m
-
n
)
⊥(
m
-
n
)
,则λ=
-3
-3

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•浦东新区二模)已知向量
m
=(1,1)
,向量
n
与向量
m
的夹角为
4
,且
m
n
=-1

(1)求向量
n

(2)若向量
n
q
=(1,0)
共线,向量
p
=(2cos2
C
2
,cosA)
,其中A、C为△ABC的内角,且A、B、C依次成等差数列,求|
n
+
p
|
的取值范围.

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