Question

7名同学排队照相．
(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？

Answer 1

（1）5040  （2）1440  （3）720  （4）1440

解：(1)A₇³·A₄⁴＝A₇⁷＝5040(种)．
(2)第一步安排甲，有A₃¹种排法；第二步安排乙，有A₄¹种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有A₅⁵种排法．由分步计数原理得，符合要求的排法共有
A₃¹·A₄¹·A₅⁵＝1440(种)．
(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，与其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有A₅⁵种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有A₃³种排法．由分步计数原理得，共有A₅⁵·A＝720(种)．
(4)第一步，4名男生全排列，有A₄⁴种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，有A₅³种插入方法．由分步计数原理得，符合条件的排法共有A₄⁴·A₅³＝1440(种)．