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已知奇函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1处取得极大值2.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤c,求实数c的最小值;
(3)若关于p的一元二次方程p2-2mp+4=0两个根均大于1,求函数g(x)=
f(x)x
+mlnx
的单调区间.
分析:(1)根据奇函数的性质f(-x)=f(x),已知条件函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1处取得极大值2可以推出f′(1)=0和f(1)=2,代入即可求得函数y=f(x)的解析式;
(2)根据题意对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤c,将问题转化为)|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|,求出f(x)的最大值和最小值即可;
(3)已知关于p的一元二次方程p2-2mp+4=0两个根均大于1,根据根与系数的关系求出m的范围,利用导数研究函数g(x)的单调性;
解答:解:(1)∵奇函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1处取得极大值2,奇函数f(-x)=-f(x),解得b=0,
可得f′(x)=3ax2+c
由题
b=0
f′(1)=0
f(1)=2
,解得
a=-1
b=0
c=3
,f(x)=-x3+3x;
(2)|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4,
根据(1)可得f(x)=-x3+3x;
求导得f′(x)=-3x2+3=-3(x2-1)令f′(x)=0,可得x=1或-1,
当f′(x)>0即-1<x<1,f(x)为增函数,
当f′(x)<0时即x>1或x<-1,f(x)为减函数,
f(x)在x=1处取极大值f(1)=2,在x=-1处取得极小值f(-1)=-,2;
f(-2)=2,f(2)=-2,
∴f(x)max=2,f(x)min=-2,
要使对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤c,
∴|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4,
故c的最小值为4;
(3)p2-2mp+4=0两个根均大于1,
则求得2≤m<
5
2
,g(x)=-x2+3+mlnx,则x>0.
g′(x)=-2x+m•
1
x
=
-2x2+m
x

2≤m<
5
2
,则x∈(0,
m
2
)
时,g'(x)>0,
(0,
m
2
)
是g(x)的单调增区间,x∈(
m
2
,+∞)
时,g'(x)<0,故(
m
2
,+∞)
是g(x)的单调减区间.
点评:此题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查的知识点比较全面是一道中档题,这类题是高考的热点问题;
练习册系列答案
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已知奇函数f(x)为R上的减函数,则关于a的不等式f(a2)+f(2a)>0的解集是(  )

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(1)已知f(x)=lg
1-x1+x
,判断f(x)的奇偶性
(2)已知奇函数f(x)的定义域为R,x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-x-1,求f(x)解析式.

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下面四个命题:
①已知函数f(x)=
x
 ,x≥0 
-x
 ,x<0 
且f(a)+f(4)=4,那么a=-4;
②一组数据18,21,19,a,22的平均数是20,那么这组数据的方差是2;
③要得到函数y=sin(2x+
π
3
)
的图象,只要将y=sin2x的图象向左平移
π
3
单位;
④已知奇函数f(x)在(0,+∞)为增函数,且f(-1)=0,则不等式f(x)<0的解集{x|x<-1}.
其中正确的是

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已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)是以2为周期的周期函数,数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2008)的值为(  )

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