Question

已知函数f（x）=2ln（2x）+x²．
（I）若函数g（x）=f（x）+ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（II）设h（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若h（x）存在两个零点m，n且2x₀=m+n，证明：函数h（x）在（x₀，h（x₀））处的切线不可能平行于x轴．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵g（x）=ln（2x）+x²+ax，．
由已知，得g'（x）≥0对一切x∈（0，+∞）恒成立．
∴，即对一切x∈（0，+∞）恒成立．
∵，∴．
∴a的取值范围为． …（5分）
（Ⅱ）h（x）=2[ln（2x）+x²]-3x²-kx=2ln（2x）-x²-kx．
由已知得h（m）=2ln（2m）-m²-km=0，h（n）=2ln（2n）-n²-kn=0．
∴，即．
假设结论不成立，即h'（x₀）=0，则，
∴．
又2x₀=m+n，
∴==．
∴．
令，则有．
令．
∴=．
∴γ（t）在（1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，γ（t）＞γ（1）=0，即．
∴当t＞1时，不可能成立，
∴假设不成立．
∴h（x）在（x₀，h（x₀））处的切线不平行于x轴． …（14分）
分析：（I）先将g（x）在（0，+∞）上递增，转化成g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，最后根据分式函数的图象与性质可求出实数a的取值范围；
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设h（x）在（x₀，h（x₀））处的切线可能平行于x轴，再利用导数研究函数在（1，+∞）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．
点评：此题是个难题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．