Question

20．已知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求：
（1）以P（2，-1）为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设弦的端点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
（2）设直线方程为：y=2x+m，弦的端点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x，y）．与椭圆方程联立化为：17x²+16mx+4m²-16=0，由△＞0，化为：m²＜68．再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．

解答 解：（1）设弦的端点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，
相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，
把$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$代入可得：k=$\frac{1}{2}$．
∴以P（2，-1）为中点的弦所在直线的方程为：y+1=$\frac{1}{2}$（x+2），化为：x-2y=0．
（2）设直线方程为：y=2x+m，弦的端点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x，y）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为：17x²+16mx+4m²-16=0，
△=256m²-68（4m²-16）＞0，化为：m²＜68．
∴x₁+x₂=-$\frac{16m}{27}$=2x，化为：x=$-\frac{8m}{17}$．
y=2×$（-\frac{8m}{17}）$+m=$\frac{m}{17}$．
∴y=-$\frac{1}{8}$x$（-\frac{8\sqrt{68}}{17}＜x＜\frac{8\sqrt{68}}{17}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．