Question

12．己知数列{a_n}满足a₁=4，a _n+1=3a_n-2．
（]）证明：数列{a_n-1}为等比数列，并求出a_n；
（2）设b_n=kⁿ•log₃（a_n-1）（k为非零常数），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （]）通过对a_n+1=3a_n-2变形可知a_n+1-1=3（a_n-1），进而可知数列{a_n-1}是首项为3、公比为3的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=n•kⁿ，分k是否为1两种情况讨论，当k=1时利用等差数列的求和公式计算即可，当k≠1时利用错位相减法计算即得结论．

解答 （]）证明：∵a_n+1=3a_n-2，
∴a_n+1-1=3（a_n-1），
又∵a₁-1=4-1=3，
∴数列{a_n-1}是首项为3、公比为3的等比数列，
∴a_n-1=3ⁿ，
∴a_n=1+3ⁿ；
（2）解：由（1）可知b_n=kⁿ•log₃（a_n-1）=kⁿ•log₃3ⁿ=n•kⁿ，
∴S_n=1•k¹+2•k²+…+n•kⁿ，
当k=1时，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
当k≠1时，kS_n=1•k²+2•k³+…+（n-1）•kⁿ+n•kⁿ⁺¹，
错位相减得：（1-k）S_n=k+k²+k³+…+kⁿ-n•kⁿ⁺¹，
=$\frac{k（1-{k}^{n}）}{1-k}$-n•kⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{k（1-{k}^{n}）}{（1-k）^{2}}$-$\frac{n}{1-k}$•kⁿ⁺¹；
综上所述，当k=1时S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，当k≠1时S_n=$\frac{k（1-{k}^{n}）}{（1-k）^{2}}$-$\frac{n}{1-k}$•kⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．