Question

3．设α，β为方程x²-12x+9=0的两个根，求$\frac{{α}^{\frac{1}{2}}-{β}^{\frac{1}{2}}}{α-β}$的值．

Answer 1

分析 根据韦达定理，可得α+β=12，αβ=9，不妨令α＞β，利用乘方法，可得α-β=6$\sqrt{3}$，${α}^{\frac{1}{2}}-{β}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$，代入可得答案．

解答 解：∵α，β为方程x²-12x+9=0的两个根，
∴α+β=12，αβ=9，不妨令α＞β，
则（α-β）²=（α+β）²-4αβ=108，
故α-β=6$\sqrt{3}$，
（${α}^{\frac{1}{2}}-{β}^{\frac{1}{2}}$）²=α+β-2$\sqrt{αβ}$=6，
故${α}^{\frac{1}{2}}-{β}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$，
故$\frac{{α}^{\frac{1}{2}}-{β}^{\frac{1}{2}}}{α-β}$=$\frac{\sqrt{6}}{6\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查的知识点是二次方程根与系数的关系，指数的运算性质，难度中档．