Question

设函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，求f（x）在区间[a，b]上的最大值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：由已知中对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我们可以得到设x=y=0，则f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），进而根据函数奇偶性的定义得到结论f（x）为奇函数，再利用函数单调性的定义由x＞0时，有f（x）＞0，结合对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判断出函数的单调性，进而求f（x）在区间[a，b]上的最大值．

解答： 解：令x=y=0知f（0）=0，
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为奇函数．
任取两个自变量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
∴f（x）在区间[a，b]上的最大值为f（a）．

点评：本题考查的知识点是抽象函数，函数单调性与性质，是对函数性质及应用的综合考查．