Question

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=1，k∈R且k＜

1

e

，设F（x）=f（x）+（k-1）lnx，求函数F（x）在[

1

e

，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数f′(x)=

ax-1

ax2

(a＞0)，利用函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，可得x∈[1，+∞）时，不等式f′(x)=

ax-1

ax2

≥0，即a≥

1

x

恒成立，求出右边函数的最大值，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）a=1时，F′(x)=

(1-x)′x-(1-x)x′

x2

+

k

x

=

kx-1

x2

，分类讨论：（1）若k=0，F（x）在[

1

e

，e]上单调递减；（2）k≠0时，F′(x)=

kx-1

x2

=

k(x- 1 k )

x2

，确定函数的单调性，即可求得函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）由题设可得f′(x)=

ax-1

ax2

(a＞0)
因为函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，所以当x∈[1，+∞）时，不等式f′(x)=

ax-1

ax2

≥0，即a≥

1

x

恒成立
因为当x∈[1，+∞）时，

1

x

的最大值为1，所以实数a的取值范围是[1，+∞）-----（4分）
（Ⅱ）a=1时，f(x)=

1-x

x

+lnx，F(x)=

1-x

x

+lnx+(k-1)lnx=

1-x

x

+klnx
所以，F′(x)=

(1-x)′x-(1-x)x′

x2

+

k

x

=

kx-1

x2

…（6分）
（1）若k=0，则F′(x)=

-1

x2

，在[

1

e

，e]上，恒有F'（x）＜0，所以F（x）在[

1

e

，e]上单调递减
∴F(x)min=F(e)=

1-e

e

，F(x)max=F(

1

e

)=e-1…（7分）
（2）k≠0时，F′(x)=

kx-1

x2

=

k(x- 1 k )

x2

（i）若k＜0，在[

1

e

，e]上，恒有

k(x- 1 k )

x2

＜0，所以F（x）在[

1

e

，e]上单调递减
∴F(x)min=F(e)=

1-e

e

+klne=

1-e

e

+k=

1

e

+k-1，F(x)max=F(

1

e

)=e-k-1…（9分）
（ii）k＞0时，因为k＜

1

e

，所以

1

k

＞e(x-

1

k

)＜0，所以

k(x- 1 k )

x2

＜0，所以F（x）在[

1

e

，e]上单调递减
∴F(x)min=F(e)=

1-e

e

+klne=

1-e

e

+k=

1

e

+k-1，F(x)max=F(

1

e

)=e-k-1…（11分）
综上所述：当k=0时，F(x)min=

1-e

e

，F（x）_max=e-1；当k≠0且k＜

1

e

时，F（x）_max=e-k-1，F(x)min=

1

e

+k-1．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导，恰当分类是关键．