Question

4．已知函数f（x）=-x²+4x+3，x∈[a，a+3]．求f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

分析 f（x）=-x²+4x+3=-（x-2）²+7，顶点是（2，7），由于抛物线开口向下，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系，即可得到结论．

解答 解：f（x）=-x²+4x+3=-（x-2）²+7，顶点是（2，7），由于抛物线开口向下
①当a＜$\frac{1}{2}$时，2-a＞a+3-2，最小值是g（a）=f（a）=-a²+4a+3；
②当a≥$\frac{1}{2}$时，2-a≤a+3-2，最小值是g（a）=f（a+3）=-（a+1）²+7．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+4a+4，a＜\frac{1}{2}}\\{-{a}^{2}-2a+6，a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数在指定区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．